派遣先企業は、妊娠や出産を理由に派遣契約を契約期間の途中で打ち切ることはできません。
また、派遣会社は、妊娠、出産を理由に解雇や、不利益に取り扱うことは禁止されています。
それから、労働基準法第19条では産前産後休業期間中とその後30日間の解雇はできないとされています。

派遣期間に関係なく、本人が請求すれば、産前6週間（多胎妊娠の場合は14週間）の休暇が取得できると労働基準法65条で定められています。
また、産後8週間は就業させてはならないとされています。ただし、産後6週間を経過した女性が請求した場合に医師が支障ないと認めた業務につかせることは可能です。
つまり、いくら働きたいと希望しても、産後6週間はお仕事をすることはできません。
また、産前産後の休業中を有給とするか無給とするかは派遣会社の自由なので、派遣会社が休業中を無給としていた場合は、収入は得られません。

出産のために仕事を離れる前に派遣会社の健康保険に1年以上（前会社での健康保険の加入期間との間に１日も空白期間がなければ、その加入期間と通算できる）加入していた場合、健康保険を喪失した日から翌日から6カ月以内に出産すると出産育児一時金がもらえます。
健康保険の喪失の手続きは、派遣会社によって異なりますので、詳しくは派遣会社にお尋ねください。
加入期間が1年に満たない場合でも、派遣会社での加入期間が2カ月以上あれば、その健康保険を任意継続することによって出産育児一時金を受け取ることができるので、詳しくは派遣会社にお尋ね下さい。

「労働者が原則としてその１歳に満たない子を養育するためにする休業」と定義されていて、期間雇用者については、次の2つの要件を満たした場合に適用となります。

・同一の事業主に引き続き雇用された期間が1年以上であること
・子が1歳に達する日を超えて引き続き雇用されることが見込まれること
（ただし、子が1歳に達する日から1年を経過する日までに、労働契約期間が満了し、更新されないことが明らかな人は対象外です）

とはいえ、派遣スタッフは3カ月更新の場合が多く、「子が1歳に達する日を超えて引き続き雇用されることが見込まれること」という要件に当てはまらないケースもあり、派遣スタッフが育児休業を取得するケースはまだ少ないようです。取得できるかは、事前に派遣会社にご確認下さい。